Question

（本小題滿分12分）
已知點R（－3,0）,點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上 ,且滿足，.
（Ⅰ）當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設為軌跡C上兩點，且，N(1,0)，求實數，使，且.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）。

解析試題分析：(Ⅰ)設點M(x,y)，由得P(0，)，Q().
由得(3，)·(，)＝0,即
又點Q在x軸的正半軸上，故點M的軌跡C的方程是.……6分
（Ⅱ）解法一：由題意可知N為拋物線C:y²＝4x的焦點，且A、B為過焦點N的直線與拋物線C的兩個交點。
當直線AB斜率不存在時，得A(1,2)，B(1,-2)，|AB|，不合題意；……7分
當直線AB斜率存在且不為0時，設，代入
得
則|AB|,解得          ………………10分
代入原方程得，由于，所以,
由，得 .             …………………12分
解法二：由題設條件得
  

由（6）、（7）解得或，又，故
考點：直線與拋物線的綜合應用；向量在幾何中的應用；軌跡方程的求法。
點評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題之一。本題主要考查利用“相關點法”求曲線的軌跡方程。相關點法：用動點Q的坐標x，y表示相關點P的坐標x₀、y₀，然后代入點P的坐標（x₀，y₀）所滿足的曲線方程，整理化簡便得到動點Q軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關點法．