Question

選修4-4：坐標系與參數方程
已知圓錐曲線

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ為參數）和定點A（0，

3

），F₁，F₂是左右焦點．
（Ⅰ）求經過點F₁垂直于直線AF₂的直線L的參數方程．
（Ⅱ） 以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求直線AF₂的極坐標方程．

Answer 1

（1）圓錐曲線

x=2cosθ y= 3 sinθ

，化為普通方程得

x2

4

+

y2

3

=1，
所以焦點為F₁（-1，0），F₂（1，0），
∴直線AF₂的斜率k=

3 -0

0-1

=-

3

因此，經過點F₁垂直于直線AF₂的直線L的斜率k₁=-

1

k

=

3

3

，直線L的傾斜角為30°
所以直線L的參數方程是

x=-1+tcos30° y=tsin30°

，即

x=-1+ 3 2 t y= 1 2 t

（t為參數）．（6分）
（2）直線AF₂的斜率k=-

3

，傾斜角是120°，
設P（ρ，θ）是直線AF₂上任一點，
則

ρ

sin60°

=

1

sin(120°-θ)

，即ρsin（120°-θ）=sin60°，
化簡得

3

ρcosθ+ρsinθ=

3

所以直線AF₂的極坐標方程是

3

ρcosθ+ρsinθ-

3

=0．（10分）