Question

選修4-4：
坐標系與參數方程在平面直角坐標系x0y中，曲線C₁為x=acosφ，y=sinφ（1＜a＜6，φ為參數）．
在以0為原點，x軸正半軸為極軸的極坐標中，曲線C₂的方程為ρ=6cosθ，射線ι為θ=α，ι與C₁的交點為A，ι與C₂除極點外的一個交點為B．當α=0時，|AB|=4．
（1）求C₁，C₂的直角坐標方程；
（2）若過點P（1，0）且斜率為

3

的直線m與曲線C₁交于D、E兩點，求|PD|與|PE|差的絕對值．

Answer 1

分析：（1）把曲線C₂的極坐標方程化為直角坐標方程 x²+y²-6x=0，求得C₁的直角坐標方程．根據當α=0時，
|AB|=4，求得a的值，即可得到C₂的直角坐標方程．
（2）先求得m的參數方程，把它代入C₁的直角坐標方程，再利用根與系數的關系求得 t₁+t₂ 和 t₁•t₂ 的值，
再根據參數的意義可得|PD|-|PE|=|t₁+t₂|的值．

解答：解：（1）由曲線C₂的方程：ρ=6cosθ得 ρ²=6ρcosθ，所以C₂的直角坐標方程是 x²+y²-6x=0．--（2分）
由已知得C₁的直角坐標方程是

x2

a

+y²=1，
當a=0時射線l與曲線C₁、C₂交點的直角坐標為A（a，0）、B （6，0），-----（3分）
∵|AB|=4，∴a=2，∴C₁的直角坐標方程是

x2

4

+y²=1．①----（5分）
（2）m的參數方程為

x=1+ 1 2 t y= 3 2 t

 （t為參數），②-------（7分）
將②帶入①得13t²+4t-12=0，設D、E 點的參數分別是t₁、t₂，
則有 t₁+t₂=-

4

13

，t₁•t₂=-

12

13

．-------（8分）
∴|PD|-|PE|=|t₁+t₂|=

4

13

．------（10分）

點評：本題主要考查把曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，直線的參數方程以及參數的幾何意義，一元二次方程根與系數
的關系，屬于基礎題．