Question

【題目】已知函數

(1) 求函數的反函數；

(2)試問:函數的圖象上是否存在關于坐標原點對稱的點，若存在，求出這些點的坐標；若不存在，說明理由；

(3)若方程的三個實數根滿足: ，且，求實數的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點關于原點對稱；（3）.

【解析】試題分析：(1)根據分段函數的反函數的求法求出函數的反函數；

(2)設點是函數圖象上關于原點對稱的點，

則，即， 解方程求出，即可說明：函數圖象上存在兩點關于原點對稱.

(3) 根據函數與函數的圖象，可得

當時，，且.；

當時， ，于是，.

由，解得.，滿足條件.因此，所求實數.

試題解析：(1)

當時，.

由，得，互換，可得.

當時，.

由，得，互換，可得.

(2) 答：函數圖象上存在兩點關于原點對稱.

設點是函數圖象上關于原點對稱的點，

則，即，

解得舍去），且滿足 .

因此，函數圖象上存在點關于原點對稱.

(3) 考察函數與函數的圖象，可得

當時，有，原方程可化為，解得

，且由，得.

當時，有，原方程可化為，化簡得

，解得(當時，).

于是，.

由，得，解得.

因為，故不符合題意，舍去；

，滿足條件.因此，所求實數.