Question

【題目】已知拋物線的焦點為 ，過點且斜率為的直線交曲線于兩點，交圓于兩點（兩點相鄰）.

(Ⅰ)若，當時，求的取值范圍；

(Ⅱ)過兩點分別作曲線的切線，兩切線交于點，求與面積之積的最小值.

Answer 1

【答案】(1) (2)取最小值1

【解析】試題分析：（1）直線的方程為，代入得,根據韋達定理以及向量共線的條件可得，結合可得的取值范圍；（2）利用導數的幾何意義以及直線的點斜式方程可得切線方程為 ，方程為 ，兩式聯立結合韋達定理可得，利用點到直線距離公式、焦半徑公式以及三角形的面積公式可得,當且僅當時，取最小值1.

試題解析：(Ⅰ)依題意直線的方程為，代入得,

設,則.

因為，即

，即；

因為，所以,又函數在單調遞減，

所以,

(Ⅱ)因為,所以

則切線方程為 ①

方程為 ②

②--①得,

③，

將③代入①得,所以

到直線的距離

,

,

因為,

所以

,

當且僅當時，取最小值1.