Question

給出下列四個命題：
①若z∈C，|z|²=z²，則z∈R；        
②若z∈C，

.

z

=-z，則z是純虛數；
③若z∈C，|z|²=zi，則z=0或z=i；   
④若z₁，z₂∈C，|z₁+z₂|=|z₁-z₂|則z₁z₂=0．其中真命題的個數為（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：①令z=a+bi，則|z|²=a²+b²，z²=a²-b²+2abi，結合題中條件可得b=0，此時z為實數；
②令z=a+bi，當

.

z

=-z時，a=0，可得z可能是實數0也可能是純虛數．
③令z=a+bi，當|z|²=a²+b²=ai-b時，可得z=0或z=-i．
④令z₁=1+i，z₂=1-i，若滿足題中的條件則z₁z₂≠0．

解答：解：①若z∈C，令z=a+bi，則|z|²=a²+b²，z²=a²-b²+2abi，若|z|²=z²，則b=0，此時z為實數，所以①正確；
②若z∈C，令z=a+bi，當

.

z

=-z時，a=0，所以z=bi，則z可能是實數0也可能是純虛數，所以②錯誤；
③若z∈C，令z=a+bi，當|z|²=a²+b²=ai-b時，則有a=0，b=0或b=-1，可得z=0或z=-i，所以③錯誤；
④若z₁，z₂∈C，令z₁=1+i，z₂=1-i，|z₁+z₂|=|z₁-z₂|，則z₁z₂≠0，所以④錯誤；
故選A．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握復數的基本概念與復數模的計算方法，以及復數的基本運算法則，解題方法一般是設z=a+bi再代入相關的方程得到關于a，b的方程，求出a，b的值即可解決問題．