Question

已知正四面體ABCD的棱長為3cm．
（1）已知點E是CD的中點，點P在△ABC的內部及邊界上運動，且滿足EP∥平面ABD，試求點P的軌跡；
（2）有一個小蟲從點A開始按以下規則前進：在每一個頂點處等可能地選擇通過這個頂點的三條棱之一，并且沿著這條棱爬到盡頭，當它爬了12cm之后，求恰好回到A點的概率．

Answer 1

分析：（1）取BC中點M，連接EM，并取AC的中點Q，連QE，QM，根據線面平行的判定定理可得：EQ∥平面ABD，MQ∥平面ABD，再結合面面平行的判定定理得到：平面QEM∥平面ABD，進而得到點P的軌跡為線段QM．
（2）由題意可得：小蟲共走過了4條棱，并且得到基本事件總數為81，再分別討論當小蟲走第1條棱時，第2條棱，第3條棱的所有走法，即可得到小蟲走12cm后仍回到A點的所有走法為21種，進而根據等可能事件的概率公式求出答案．

解答：解：（1）取BC中點M，連接EM，并取AC的中點Q，連QE，QM，
所以EQ∥AD，EQ?平面ABD，AD?平面ABD，
所以EQ∥平面ABD．
同理可得：MQ∥平面ABD．
因為EQ，MQ為平面QEM內的兩條相交直線，
所以平面QEM∥平面ABD，
所以得到點P的軌跡為線段QM．
（2）由題意可得：小蟲爬了12cm，并且恰好回到A點，
所以小蟲共走過了4條棱，
因為每次走某條棱均有3種選擇，
所以所有等可能基本事件總數為3⁴=81．
當小蟲走第1條棱時，有3種選擇，即AB，AC，AD，不妨設小蟲走了AB，
然后小蟲走第2條棱為BA或BC或BD，
若第2條棱走的為BA，則第3條棱可以選擇走AB，AC，AD，計3種可能；
若第2條棱走的為BC，則第3條棱可以選擇走CB，CD，計2種可能；
同理第2條棱走BD時，第3棱的走法亦有2種選擇．
所以小蟲走12cm后仍回到A點的選擇有3×（3+2+2）=21種可能．
所以所求的概率為

21

81

=

7

27

．

點評：本題主要考查線面平行與面面平行的判定定理，以及考查等可能事件的概率公式，解決此題的關鍵是仔細審題挖掘題中隱含條件，再結合列舉的方法得到所求事件包含的基本事件數，在列舉時要做到不重不漏有規律的列舉，此題屬于中檔題．