Question

設函數(shù)，其中.

（1）若，求在的最小值；

（2）如果在定義域內既有極大值又有極小值，求實數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在最小的正整數(shù)，使得當時，不等式恒成立.

Answer 1

解析：（1）由題意知，的定義域為，

時，由，得（舍去），

當時，，當時，，

所以當時，單調遞減；當時，單調遞增，

所以

（2）由題意在有兩個不等實根，

即在有兩個不等實根，

設，則，解之得；

（3）對于函數(shù)，

令函數(shù),

則，

所以函數(shù)在上單調遞增，又時，恒有

即恒成立.

取，則有恒成立.

顯然，存在最小的正整數(shù)N=1，使得當時，不等式恒成立