Question

【題目】已知直線l1：2x－y＋6＝0和直線l2：x＝－1，F(xiàn)是拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線C上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和最小時(shí)，直線PF被拋物線所截得的線段長(zhǎng)是________．

Answer 1

【答案】20

【解析】

由拋物線的定義知，P到l2的距離等于P到拋物線的焦點(diǎn)F(1，0)的距離．點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和最小即轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到點(diǎn)F(1，0)和直線l1的距離之和最小,此時(shí)PF⊥l1進(jìn)而得到直線PF的方程，再由焦點(diǎn)弦的性質(zhì)得到結(jié)果.

直線l2為拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線，由拋物線的定義知，P到l2的距離等于P到拋物線的焦點(diǎn)F(1，0)的距離．點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和最小即轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到點(diǎn)F(1，0)和直線l1的距離之和最小，當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(1，0)和直線l1的距離之和最小時(shí)，直線PF⊥l1，從而直線PF方程為y＝－ (x－1)，代入C方程得x2－18x＋1＝0，所以x1＋x2＝18，從而所求線段長(zhǎng)為x1＋x2＋p＝18＋2＝20.

故答案為：20.