Question

已知定義在R上的函數f（x）滿足f（-x）=-f（x），f（x-4）=-f（x），且在區間[0，2]上是減函數．若方程f（x）=k在區間[-8，8]上有四個不同的根，則這四根之和為（　　）

A．±4

B．±8

C．±6

D．±2

Answer 1

分析：由條件“f（-x）=-f（x）”函數為奇函數，由“f（x-4）=-f（x）”可得f（x+8）=f（x），即函數的周期為8，且在[0，2]上為減函數，畫出示意圖，由圖解得答案．

解答：解：∵f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數，
∵f（x-4）=-f（x），即f（x+8）=f（x），
∴f（x）是周期為8的周期函數，
根據f（-x）=-f（x），f（x-4）=-f（x），可得f（x-4）=f（-x），
∴f（x）關于直線x=-2對稱，
又根據題意知，f（x）在[0，2]上為減函數，
結合以上條畫出函數的示意圖，由圖看出，
①當k＞0時，四個交點中兩個交點的橫坐標之和為2×（-2）=-4，
另兩個交點的橫坐標之和為2×6=12，所以四根之和為8；
②當k＜0時，四個交點中兩個交點的橫坐標之和為2×（-6）=-12，
另兩個交點的橫坐標之和為2×2=4，所以四根之和為-8；
綜合①②可得，四根之和為±8．
故選B．

點評：本題考查了數形結合的數學思想方法．數形結合是數學解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質；另外，由于使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷．