Question

解答題

已知二次函數f(x)＝ax²＋bx＋1(a，b∈R，a＞0)，設方程f(x)＝x的兩個實根為x₁和x₂．

(1)如果x₁＜2＜x₂＜4，設函數f(x)的對稱軸為x＝x₀，求證：x₀＞－1；

(2)如果|x₁|＜2，|x₂－x₁|＝2，求b的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：設g(x)＝f(x)－x＝ax2＋(b－1)x＋1(a＞0)，由條件x1＜2＜x2＜4得即 　　∴－4a＜b＜－2a． 　　顯然由－4a＜－2a得a＞，即有2－＞－＞1－． 　　故x0＝－＞1－＝－1． 　　(2)解：由g(x)＝ax2＋(b－1)x＋1＝0可知x1x2＝＞0． 　　∴x1，x2同號． 　　若0＜x1＜2，則x2－x1＝2(負根舍去)， 　　∴x2＝x1＋2＞2， 　　∴g(2)＜0， 　　即4a＋2b－1＜0　　① 　　∴(x2－x1)2＝－＝4． 　　∴2a＋1＝－(由a＞0，負根舍去)． 　　代入①式，得2＜3－2b，解得b＜． 　　若－2＜x1＜0，則x2＝－2＋x1＜－2(正根舍去)， 　　∴g(－2)＜0，即4a－2b＋3＜0　　② 　　將2a＋1＝代入②式得2＜2b－1， 　　解得b＞， 　　綜上，當0＜x1＜2時，b＜； 　　當－2＜x1＜0時，b＞．