Question

【題目】如圖，已知三棱柱 ，側面 .
(Ⅰ)若 分別是 的中點，求證： ；
(Ⅱ)若三棱柱 的各棱長均為2，側棱 與底面 所成的角為 ，問在線段 上是否存在一點 ，使得平面 ?若存在，求 與 的比值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】解：證明：(Ⅰ)連接AC1 ， BC1 ，
則AC1∩A1C＝N，AN＝NC1 ，
因為AM＝MB，所以MN∥BC1.
又BC1平面BCC1B1 ，
所以MN∥平面BCC1B1.
(Ⅱ)作B1O⊥BC于O點，連接AO，
因為平面BCC1B1⊥底面ABC，
所以B1O⊥平面ABC，

以O為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0， ，0)，B(－1，0,0)，C(1,0,0)，B1(0,0， )．由 ＝ ＝ ，可求出A1(1， ， )，C1(2,0， )，
設點P(x，y，z)， ＝λ .
則P ，
＝ ，
＝(－1,0， )．
設平面B1CP的法向量為n1＝(x1 ， y1 ， z1)，
由
得
令z1＝1，解得n1＝ .
同理可求出平面ACC1A1的法向量n2＝( ，1，－1)．
由平面B1CP⊥平面ACC1A1 ，
得n1·n2＝0，即3＋ －1＝0，
解得λ＝3，所以A1C＝3A1P，
從而C1P∶PA1＝2.
【解析】（1）連接AC1，利用三角形的中位線證明：MN∥BC1，然后利用直線與平面平行的判定定理證明即可．
（2）假設在線段A1C1上存在點P，通過求出平面B1CP的法向量，求出平面ACC1A1的法向量，通過向量垂直的條件建立方程．即可得出結論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解平面的法向量(若向量所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量)．