Question

【題目】如圖，四棱錐 中，底面 為梯形， 底面 ， .過 作一個平面 使得 平面 .

（1）求平面 將四棱錐 分成兩部分幾何體的體積之比；
（2）若平面 與平面 之間的距離為 ，求直線 與平面 所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】
（1）解：記平面 與直線 .
因為 ，所以 .
由已知條件易知 ，又因 .
所以
可得
所以 .
即平面 將四棱錐 分成兩部分幾何體的體積之比為
（2）解：建立直角坐標系，記
則
因為平面 的法向量
設 得 ，
取 得平面 .
由條件易知點 到平面 距離 .即 .
所以.直線 與平面 所成角 滿足
【解析】（Ⅰ）利用線面的垂直，進一步算出錐體的體積運算求出比值．
（Ⅱ）建立直角坐標系，通過做出直線 P A 與平面 P B C 所成角,求出相關的量，進一步求得結果．
【考點精析】關于本題考查的用空間向量求直線與平面的夾角，需要了解設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，　則為的余角或的補角的余角.即有：才能得出正確答案．