Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)任意的正整數(shù)n，滿足2

Sn

=a_n+1，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件推導(dǎo)出2（a_n+a_n-1）=a_n²-a_n-1²=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），從而得到a_n-a_n-1=2，由此能求出a_n=2n-1．

解答： 解：∵2

Sn

=a_n+1，∴a_n=2

Sn

-1，
∵2

Sn

=a_n+1，∴4S_n=（a_n+1）²
那么4S_n-1=（a_n-1+1）²
兩式相減得4a_n=a_n²+2a_n-a_n-1²-2a_n-1
即2（a_n+a_n-1）=a_n²-a_n-1²=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）
∵正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=2
a_n=2

S1

-1=2

a1

-1，解得a₁=1，
∴{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列
a_n=1+2（n-1）=2n-1
故答案為：2n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．