Question

【題目】已知為實數，函數.

（1）若是函數的一個極值點，求實數的取值；

（2）設，若，使得成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ,(2) .

【解析】試題分析：（1）求出函數f（x）定義域，函數的導函數f′（x），假設存在實數a，使f（x）在x=3處取極值，則f′（3）=0，求出a，驗證推出結果．

（2）由f （x0）≤g（x0） 得：（x0﹣lnx0）a≥x02﹣2x0，記F（x）=x﹣lnx（x＞0），求出F′（x），推出F（x）≥F（1）=1＞0，轉化a≥，記G（x）=，x∈[，e]求出導函數，求出最大值，列出不等式求解即可．

解析：（1）函數定義域為 ，

.

∵是函數的一個極值點，∴，解得.

經檢驗時， 是函數的一個極小值點，符合題意，

∴.

（2）由，得，

記，

∴，

∴當 時， ， 單調遞減；

當時， ， 單調遞増.

∴，

∴，記，

∴ .

∵，∴，

∴，

∴時， ， 單調遞減；

時， ， 單調遞增，

∴，

∴.

故實數的取值范圍為.