Question

【題目】設函數f（x）=ax﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定義域為R的奇函數．
（1）求k值；
（2）若f（1）＜0，試判斷y=f（x）的單調性并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范圍；
（3）若f（1）= ，g（x）=a2x+a﹣2x﹣2f（x），求k∈N+在[1，+∞）上的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是定義域為R的奇函數，∴f（0）=0，

∴1﹣（k﹣1）=0，∴k=2

（2）解：f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1），

若f（1）＜0，則a﹣ ＜0，

∵a＞0且a≠1，

∴a2﹣1＜0，即0＜a＜1

∵ax單調遞減，a﹣x單調遞增，

故f（x）在R上單調遞減．

不等式化為f（x2+tx）＜f（x﹣4），

∴x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立

∴△=（t﹣1）2﹣16＜0，解得﹣3＜t＜5

（3）解： ，

∴ ，

∴

g（x）=22x+2﹣2x﹣2（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2（2x﹣2﹣x）+2

令t=2x﹣2﹣x

∵t=2x﹣2﹣x在[1，+∞）上為遞增的，

∴

∴設h（t）=t2﹣2t+2=（t﹣1）2+1，

∴ ，

即g（x）在[1，+∞）上的最小值為

【解析】（1）根據函數奇偶性的定義和性質進行求解即可．（2）根據不等式求出a的取值范圍，判斷函數的單調性，將不等式恒成立進行轉化即可．（3）利用換元法，結合一元二次函數單調性的性質進行求解即可．