Question

（2005•朝陽區一模）已知

a

=(cosα，sinα)，

b

=(cosβ，sinβ)，0＜α＜β＜π
（I）求|

a

|的值；
（II）求證：

a

+

b

與

a

-

b

互相垂直；
（III）設|k

a

+

b

|=|

a

-k

b

|，k∈R且k≠0，求β-α的值．

Answer 1

分析：（I）由

a

=(cosα，sinα)，能求出|

a

|的值．
（II）由（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=（cosα+cosβ）（cosα-cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα-sinβ）=0，能證明（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

）．
（III）由k

a

+

b

=(kcosαβ，ksinα+sinβ)，

a

-k

b

=（cosα-kcosβ，sinα-ksinβ）和|k

a

+

b

|=|

a

-k

b

|，能夠求出β-α=

π

2

．

解答：解：（I）解：∵

a

=(cosα，sinα)，
∴|

a

| =

cos2α+sin2α

=1．（3分）
（II）證明：∵（

a

+

b

）•（

a

-

b

）
=（cosα+cosβ）（cosα-cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα-sinβ）（6分）
=cos²α-cos²β+sin²α-sin²β
=0，
∴（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

）．（8分）
（III）解：∵k

a

+

b

=(kcosαβ，ksinα+sinβ)，
∴

a

-k

b

=（cosα-kcosβ，sinα-ksinβ），（10分）
∴|k

a

+

b

|  =

(kcosα+cosβ)2+(ksinα+sinβ)2

=

k2+1+2kcos(β-α)

，（12分）
|

a

-k

b

|  =

(cosα-kcosβ)2+(sinα-ksinβ)2

=

1-2kcos(β-α)+k2

，
∵|k

a

+

b

|=|

a

-k

b

|，
∴

k2+1+2kcos(β-α)

=

1-2kcos(β-α)+k2

，
整理，得2kcos（β-α）=-2kcos（β-α）
又k≠0，∴cos（β-α）=0
∵0＜α＜β＜π，
∴0＜β-α＜π，
∴β-α=

π

2

．（14分）

點評：本題考查向量的模的求法，求證：

a

+

b

與

a

-

b

互相垂直和求β-α的值．綜合性強，較繁瑣，容易出錯．解題時要認真審題，注意三角函數恒等變換的靈活運用．