Question

已知函數f(x)=lnx-

1

2

ax2+bx（a＞0），且f′（1）=0．
（Ⅰ）試用含有a的式子表示b，并求f（x）的極值；
（Ⅱ）對于函數f（x）圖象上的不同兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果在函數圖象上存在點M（x₀，y₀）（其中x₀∈（x₁，x₂）），使得點M處的切線l∥AB，則稱AB存在“伴隨切線”．特別地，當x0=

x1+x2

2

時，又稱AB存在“中值伴隨切線”．試問：在函數f（x）的圖象上是否存在兩點A、B使得它存在“中值伴隨切線”，若存在，求出A、B的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x）根據且f'（1）=0求出a和b的關系即可，根據自變量的取值范圍及a＞0，令導函數大于0得到函數的增區間，令導函數小于0得到函數的減區間，根據增減性得到函數的極值即可；
（Ⅱ）不存在，設兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入到函數關系式中，然后求出直線AB的斜率，并求出在M的切線的斜率，兩者相等得到等式，化簡后令其左邊設為函數g（t），求出函數g（t）的最小值，這表明在函數f（x）上不存在兩點A、B使得它存在“中值伴隨切線”．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），∵f′(x)=

1

x

-ax+b，f'（1）=1-a+b=0，∴b=a-1．
代入f′(x)=

1

x

-ax+b，得f′(x)=

1

x

-ax+a-1=-

(ax+1)(x-1)

x

．
當f'（x）＞0時，-

(ax+1)(x-1)

x

＞0，由x＞0，得（ax+1）（x-1）＜0，
又a＞0，∴0＜x＜1，即f（x）在（0，1）上單調遞增；
當f'（x）＜0時，-

(ax+1)(x-1)

x

＜0，由x＞0，得（ax+1）（x-1）＞0，
又a＞0，∴x＞1，即f（x）在（1，+∞）上單調遞減．
∴f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減．
所以，當x=1時，f（x）的極大值為f(1)=ln1-

1

2

a+b=

a

2

-1
（Ⅱ）在函數f（x）的圖象上不存在兩點A、B使得它存在“中值伴隨切線”．
假設存在兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨設0＜x₁＜x₂，則y1=lnx1-

1

2

a

x

2 1

+(a-1)x1，y2=lnx2-

1

2

a

x

2 2

+(a-1)x2，kAB=

y2-y1

x2-x1

=

(lnx2-lnx1)- 1 2 a( x 2 2 - x 2 1 )+(a-1)(x2-x1)

x2-x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

-

1

2

a(x1+x2)+a-1，
在函數圖象x0=

x1+x2

2

處的切線斜率k=f′(x0)=f′(

x1+x2

2

)=

2

x1+x2

-a•

x1+x2

2

+(a-1)，
由

lnx2-lnx1

x2-x1

-

1

2

a(x1+x2)+a-1=

2

x1+x2

-a•

x1+x2

2

+(a-1)
化簡得：

lnx2-lnx1

x2-x1

=

2

x1+x2

，ln

x2

x1

=

2(x2-x1)

x2+x1

=

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

．
令

x2

x1

=t，則t＞1，上式化為：lnt=

2(t-1)

t+1

=2-

4

t+1

，即lnt+

4

t+1

=2，
若令g(t)=lnt+

4

t+1

，g′(t)=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

，
由t≥1，g'（t）≥0，∴g（t）在[1，+∞）在上單調遞增，g（t）＞g（1）=2．
這表明在（1，+∞）內不存在t，使得lnt+

4

t+1

=2．
綜上所述，在函數f（x）上不存在兩點A、B使得它存在“中值伴隨切線”．

點評：考查利用導數研究函數單調性的能力，利用導數求函數極值的能力，以及直線斜率的計算公式．