Question

（2012•黃岡模擬）（選做題：請在下列兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分）
（A）如圖，AB是半圓的直徑，C是AB延長線一點，CD切半圓于D，CD=

3

，DE⊥AB，垂足為E，且E是OB的中點，則半圓的半徑長為

1

．
（B）在極坐標系中，已知圓C的圓心為(6，

π

2

)，半徑為5，直線θ=α(0≤α≤

π

2

，ρ∈R)被圓截得的弦長為8，則α的值等于

π

3

．

Answer 1

分析：（A）連接OD，則OD⊥DC，在Rt_△OED中，OE=

1

2

OB=

1

2

OD，可得∠ODE=30°．在Rt_△0DC中，由∠DCO=30°、DC=

3

，利用直角三角形中的邊角關系求出半徑OD的值．
（B）設出圓上任一點的極坐標，利用兩點間的距離公式表示出|PC|的長，讓其值等于圓的半徑5，即可得到圓C的極坐標方程，把直線方程代入圓C的方程，得到一個關于ρ的一元二次方程，利用韋達定理表示出兩根之和與兩根之積，表示出直線被圓截得的弦長，將兩根之和與兩根之積代入后，然后其值等于8，即可求出sinα的值，由α的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出α的值．

解答：解：（A）如圖連接OD，則OD⊥DC，在Rt△OED中，∵E是OB的中點，ρ₁-ρ₂                                      
∴OE=

1

2

OB=

1

2

OD，所以∠ODE=30°．
再由△DOE∽△COD可得，在Rt△ODC中，∠DCO=30°．
∵DC=

3

，∴OD=DC•tan30°=

3

×

3

3

=1，
故答案為 1．
（B）設圓C上任一點坐標為P（ρ，θ），圓心C（6，

π

2

），圓的半徑r=5，
所以|PC|=

ρ2+36-2ρcos( π 2 -θ)

=5，化簡得：ρ²-12ρsinθ+11=0，即為圓C的極坐標方程，
把直線θ=α代入圓C的方程得：ρ²-12ρsinα+11=0．
設直線與圓交于（ρ₁，α₁）（ρ₂，α₂），根據韋達定理得：ρ₁+ρ₂=12sinα，ρ₁ρ₂=11，
所以直線被圓截得的弦長m=|ρ₁-ρ₂|=

(ρ1 -ρ 2)2-4ρ 1•ρ 2

=

(12sinα )2-44

=8，
即 （12sinα）²=64+44，化簡得：sin²α=

3

4

，解得sinα=

3

2

．
又α∈[0，

π

2

]，則α=

π

3

，
故答案為  

π

3

．

點評：本題主要考查弦切角的性質和應用，還考查了直線與圓相交的性質，兩點間的距離公式，韋達定理及弦長公式，屬于基礎題．