Question

（2012•黃岡模擬）已知函數f(x)=x3-3x2+1，g(x)=

(x- 1 2 )2+1(x＞0) -(x+3)2+1(x≤0)

，則方程g[f（x）]-a=0（a為正實數）的實數根最多有（　　）個．

A．6個

B．4個

C．7個

D．8個

Answer 1

分析：利用導數求的f（x）的極大值為f（0）=1，極小值為f（2）=-3，且函數的值域為R．分a=1、0＜a＜1、a＞1三種
情況，研究方程跟的個數，從而得出結論．

解答：解：∵函數f(x)=x3-3x2+1，g(x)=

(x- 1 2 )2+1(x＞0) -(x+3)2+1(x≤0)

，
令f′（x）=0 可得 x=0，x=2，在（-∞，0）上，f′（x）＞0，f（x）是增函數；
在（0，2）上，f′（x）＜0，f（x）是減函數；在（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函數．
故f（x）的極大值為f（0）=1，極小值為f（2）=-3，且函數的值域為R．
由函數g（x）的圖象可得，當x=-3或x=

1

2

時，g（x）=1．
①當a=1時，若方程g[f（x）]-a=0，則：
f（x）=-3，此時方程有2個根，或f（x）=

1

2

，此時方程有3個根，
故方程g[f（x）]-a=0可能共有5個根．
②當0＜a＜1時，方程g[f（x）]-a=0，則：
f（x）∈（-4，-3），此時方程有1個根，或f（x）∈（-3，-2），此時方程有3個根
故方程g[f（x）]-a=0可能共有4個根．
③當a＞1時，方程g[f（x）]-a=0，則：f（x）∈（0，

1

2

），或f（x）∈（

1

2

，+∞），
方程可能有4個、5個或6個根．
故方程g[f（x）]-a=0（a為正實數）的實數根最多有6個，
故選 A．

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，其中分析內外函數的圖象是解答本題的關鍵，屬于中檔題．