Question

（2012•黃岡模擬）已知函數f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1（k＞0）的單調遞減區間是（0，4），則k的值是

1

3

．

Answer 1

分析：將三次多項式函數求導數，得f'（x）=3kx²+6（k-1）x，結合題意得f'（x）＜0的解集是（0，4），根據一元二次不等式解法的結論，比較系數即可得到實數k的值．

解答：解：對函數求導數，得f'（x）=3kx²+6（k-1）x
∵函數的單調遞減區間是（0，4），
∴f'（x）＜0的解集是（0，4），
∵k＞0，
∴3kx²+6（k-1）x＜0等價于3kx（x-4）＜0，
得6（k-1）=-12k，解之得k=

1

3

故答案為：

1

3

點評：本題給出三次多項式函數的單調減區間，求參數k的值，著重考查了利用導數研究函數的單調性和一元二次不等式解法等知識，屬于基礎題．