Question

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)、，直線是它的一條準(zhǔn)線，、分別是橢圓的上、下兩個(gè)頂點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)的拋物線為，若過(guò)點(diǎn)的直線與相交于不同、的兩點(diǎn)、，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

（1）（2）

（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為==1(a＞b＞0)
由題意，得c＝1，＝4 Þ  a＝2，從而b²＝3
∴橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)拋物線C的方程為x²＝2py(p＞0)
由＝2 Þ  p＝4
∴拋物線方程為x²＝8y
設(shè)線段MN的中點(diǎn)Q(x,y)，直線l的方程為y＝kx＋1
由得，（這里△≥0恒成立），
設(shè)M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)
由韋達(dá)定理，得，，
所以中點(diǎn)坐標(biāo)為Q，
∴x＝4k,y＝4k²＋1
消去k得Q點(diǎn)軌跡方程為：x²＝4(y－1)