Question

已知函數f(x)=log2

1+x

x-1

．
（1）求函數f（x）的定義域并證明其為奇函數；
（2）若當x∈（1，+∞）時，f（x）+log₂（x-1）＞m恒成立．求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據對數函數的真數大于0，求出函數的定義域，然后利用函數奇偶性的定義進行判斷即可；
（2）該題參數m已經分離，所以只需利用對數函數的性質求出取值范圍，從而可求出m的取值范圍，由于不等式左側的最小值取不到，則m可以取該值．

解答：解：（1）∵函數f(x)=log2

1+x

x-1

，
∴令

1+x

x-1

＞0，解得x＜-1或x＞1，
∴函數的定義域為{x|x＜-1或x＞1}，
∴函數f（x）的定義域關于原點對稱，
又∵f(-x)=log2

1-x

-x-1

=log2

x-1

x+1

=-log2

x+1

x-1

=-f(x)，
∴函數f（x）為奇函數；
（2）∵函數f(x)=log2

1+x

x-1

，
∴f（x）+log₂（x-1）=log2

1+x

x-1

+log₂（x-1）=log₂（1+x），
∵y=log₂（1+x）在（1，+∞）上單調遞增，
∴當x＞1時，log₂（1+x）＞log₂（1+1）=1，
∴1＜f（x）+log₂（x-1），
又∵當x∈（1，+∞）時，f（x）+log₂（x-1）＞m恒成立，
∴m≤1＜f（x）+log₂（x-1），
∴實數m的取值范圍為m≤1．

點評：本題主要考查了函數奇偶性的判斷，以及不等式恒成立問題，對于不等式恒成立問題一般選用參變量分離法、最值法、數形結合法求解．本題解題過程中運用了對數函數的性質求解取值范圍．屬于中檔題．