Question

已知向量

a

=（x，y），

b

=（cosα，sinα），其中x，y，α∈R，若|

a

|=4|

b

|，則

a

•

b

＜λ²成立的一個必要不充分條件是（　　）

A．λ＞3或λ＜-3

B．λ＞1或λ＜-1

C．-3＜λ＜3

D．-1＜λ＜1

Answer 1

分析：利用充分條件和必要條件的定義進行判斷，利用向量的數量積進行運算即可．

解答：解：因為量

a

=（x，y），

b

=（cosα，sinα），|

a

|=4|

b

|，所以

x2+y2

=4，
所以

a

•

b

=xcosα+ysinα=

x2+y2

cos(α-θ)，其中θ為參數．
所以

a

•

b

的最大值為

x2+y2

=4，
所以由

a

•

b

＜λ²，得4＜λ²成立，解得λ＞2或λ＜-2．
所以使λ＞2或λ＜-2成立的一個必要不充分條件為λ＞1或λ＜-1．
故選B．

點評：本題主要考查充分條件和必要條件的應用，利用數量積的定義求出數量積的最大值是解決本題的關鍵．要注意三角函數輔助角公式的應用．