Question

關于函數f(x)=4cos(2x+

π

3

)，x∈R有下列命題：
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整數倍；
②y=f（x）與y=4sin(2x-

π

6

)是同一函數；
③y=f（x）的圖象關于點(-

π

6

，0)對稱；
④y=f（x）的圖象關于直線x=-

π

6

對稱；
⑤f(x+

π

6

)=f(x-

5π

6

)．
其中正確命題的序號是

④⑤

．（注：多選少選均不給分）

Answer 1

分析：求出函數的周期判斷①不正確，利用誘導公式化簡f（x）可得②不正確，求出函數的對稱中心判定③不正確，根據對稱軸的定義可得f（x）的圖象關于直線x=-

π

6

對稱，故④正確，
利用誘導公式分別化簡f(x+

π

6

)和f(x-

5π

6

)，可得f(x+

π

6

)=f(x-

5π

6

)，⑤正確．

解答：解：對于函數 f(x)=4cos(2x+

π

3

)，x∈R，它的周期等于

2π

2

=π，
①由f（x₁）=f（x₂）=0，可得x₁-x₂必是半個周期

π

2

的整數，故①不正確．
②f（x）=4cos（2x+

π

3

）=4sin（

π

2

-2x-

π

3

）=-4sin（2x+

π

3

-

π

2

）=4sin（2x-

π

6

），故②不正確．
③由2x+

π

3

=kπ+當x=-

π

6

時，函數f（x）=4≠0，故f（x）的圖象不關于點(-

π

6

，0)對稱，故③不正確．
④當x=-

π

6

時，函數f（x）=4，是函數的最大值，故f（x）的圖象關于直線x=-

π

6

對稱，故④正確．
⑤∵f(x+

π

6

)=4cos[2(x+

π

6

)+

π

3

]=4cos（2x+

2π

3

），f(x-

5π

6

)=4cos[2（x-

5π

6

）+

π

3

]=
4cos（2x-

4π

3

）=4cos（2x+

2π

3

），故f(x+

π

6

)=f(x-

5π

6

)，故⑤正確．
故答案為：④⑤．

點評：本題考查正弦函數的性質，考查基本概念，基本知識的理解掌握程度，是基礎題．