Question

【題目】已知函數，，.

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）當時，若函數在區間上的最小值是，求的值；

（3）設，是函數圖象上任意不同的兩點，線段的中點為，直線的斜率為.證明：.

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】分析：（1）由條件可得，要求函數的單調區間，函數的定義域為。求導得 。當時，。可得函數在上遞增。（2）由函數在區間上的最小值是，可根據函數的單調性求函數的最小值，根據最小值等于，得到關于的關系式，即可求。由（1）知。因為，解不等式，，進而可得函數在上遞減，在上遞增，進而可得，所以，進而解得 。滿足。（3）要證明，應先把和表示出來。由兩點連線的斜率公式可得直線的斜率為，由線段的中點為，可得 。根據導函數可得。所以要證，即證。以下利用分析法可證。不妨設，即證，即證 。把看成整體。設，即證，移項即證，其中。構造函數。證明函數的最小值大于0即可，求導數判斷函數的單調性，進而求函數的最小值。

詳解：(1)函數的定義域為，，

因為 ，所以，

故函數在上遞增。

（2）由（1）知

因為 ，

所以由，可得；

由，可得。

所以函數在上遞減，在上遞增，

所以。

所以，

解得，符合題意。

（3）證明：由已知可得

又，所以。

要證，即證。

不妨設，即證，即證。

設，即證，

即證，其中。

設，

則

所以在上單調遞增，

因此 得證.