Question

【題目】已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F（1，0）的距離減去它到y軸距離的差都是1．
（1）求曲線C的方程；
（2）是否存在正數m，對于過點M（m，0）且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有 ＜0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設P（x，y）是曲線C上任意一點，那么點P（x，y）滿足：

化簡得y2=4x（x＞0）．

（2）解：設過點M（m，0）（m＞0）的直線l與曲線C的交點為A（x1，y1），B（x2，y2）．

設l的方程為x=ty+m，由 得y2﹣4ty﹣4m=0，△=16（t2+m）＞0，

于是 ①

又 ． （x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2＜0②

又 ，于是不等式②等價于 ③由①式，不等式③等價于m2﹣6m+1＜4t2④

對任意實數t，4t2的最小值為0，所以不等式④對于一切t成立等價于m2﹣6m+1＜0，解得 ．

由此可知，存在正數m，對于過點M（m，0）且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有 ，且m的取值范圍 ．

【解析】（1）設P（x，y）是曲線C上任意一點，然后根據等量關系列方程整理即可．（2）首先由于過點M（m，0）的直線與開口向右的拋物線有兩個交點A、B，則設該直線的方程為x=ty+m（包括無斜率的直線）；然后與拋物線方程聯立方程組，進而通過消元轉化為一元二次方程；再根據韋達定理及向量的數量積公式，實現 ＜0的等價轉化；最后通過m、t的不等式求出m的取值范圍．