Question

如圖，在△ABC中，∠B=

π

2

，AB=BC=2，P為AB邊上一動點，PD∥BC，P為AB邊上一動點，PD∥BC交AC于點D，現將△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD．
（1）當棱錐A′-PBCD的體積最大時，求PA的長；
（2）若點P為AB的中點，E為A′C的中點，求證：A′B⊥DE．

Answer 1

分析：（1）令PA=x（0＜x＜2）求出體積表達式，利用導數確定函數的單調性，求出函數的最大值．
（2）設F為A′B的中點，連接PF，FE，通過PDEF是平行四邊形，證明A′B⊥DE．

解答：解：（1）令PA=x（0＜x＜2），則A′P=PD=x．BP=2-x，因為A′P⊥PD
且平面A′PD⊥平面PBCD，故A′P⊥平面PBCD，所以VA′-PBCD=

1

3

Sh=

1

6

(2-x)(2+x)x=

1

6

(4x-x3)
令f（x）=

1

6

(4x-x3)，由f′（x）=

1

6

(4-3x2) =0得x=

2 3

3

，
當x∈（0，

2 3

3

）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
當x∈（

2 3

3

，2）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
所以，當x=

2 3

3

時，f（x）取得最大值，
即：體積最大時，PA=

2 3

3

．
（2）設F為A′B的中點，連接PF，FE，則有EF∥BC，EF=

1

2

BC，PD∥BC，PD=

1

2

BC，
所以DE∥PF，又A′P=PB，所以PF⊥A′B．
故DE⊥A′B

點評：本題是中檔題，考查幾何體的體積計算，函數最大值的求法，直線與直線的垂直的證明方法，考查空間想象能力，計算能力．