Question

設a∈R，關于x的一元二次方程7x²-（a+13）x+a²-a-2=0有兩實數根x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂＜2．
（1）求a的取值范圍；
（2）比較a³與a²-a+1的大小．

Answer 1

考點：函數的零點與方程根的關系,函數零點的判定定理,不等式比較大小

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據一元二次方程根的分布關系，建立條件關系，即可求a的取值范圍；
（2）利用作差法，即可比較a³與a²-a+1的大小．

解答： 解：（1）記函數f（x）=7x²-（a+13）x+a²-a-2，其圖象是一條開口向上的拋物線，
一元二次方程7x²-（a+13）x+a²-a-2=0的兩個實數根x₁，x₂即為函數f（x）的零點，則
若0＜x₁＜1＜x₂＜2，則

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

，
即

a2-a-2＞0 a2-2a-8＜0 a2-3a＞0

，∴

a＞2或a＜-1 -2＜a＜4 a＞3或a＜0

，
∴-2＜a＜-1，或3＜a＜4，
即滿足條件時，實數a的取值范圍是-2＜a＜-1，或3＜a＜4．
（2）∵a³-（a²-a+1）=（a³-a²）+（a-1）=（a-1）（a²+1）
∴當3＜a＜4時，a-1＞0，則a³＞a²-a+1；
當-2＜a＜-1時，a-1＜0，則a³＜a²-a+1．

點評：本題主要考查一元二次方程根的分布，利用方程和函數之間的關系是解決本題的關鍵．