Question

【題目】定義在上的奇函數有最小正周期，且時，.

（1）求在上的解析式；

（2）判斷在上的單調性，并給予證明；

（3）當為何值時，關于方程在上有實數解？

Answer 1

【答案】（1）；（2）在單調遞減；

（3）或或.

【解析】

試題（1）可設，則,由時，可求，再由奇函數的性質可求

（2）利用函數的單調性的定義進行證明即可

（3）轉化為求解函數在上的值域，結合（2）可先求在上的值域，然后結合奇函數的對稱性可求在上的值域

試題解析：（1）設，則

∵時，，

由函數為奇函數可得，，∴，∵，

又因為函數是周期為4的為奇函數，，，

（2）設，令，

則

∵，∴，

∴函數在單調遞增，且，

∴在單調遞減

（3）由（2）可得當時，單調遞減，故，

由奇函數的對稱性可得，時，

當時，

∵關于方程在上有實數解，或或