Question

【題目】已知實數滿足，且.證明：存在整數，使得.

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】

記.

構造下列51個數：，

，

.

下面證明中至少有一個在區間內.

由上述符號的含義，

知，

且.

所以.

（1）若，則由，得.

因此.

（2）若，假設都不在區間內，

則由，知.

結合假設，得.

又由，知.

所以中存在比小的數，也存在比大的數.

又，且都不在區間內.

因此，存在j∈{1，2，……，50}，使得.

此時，.

另一方面，，兩者矛盾.

所以中至少有一個在區間內.

由（1）（2）知，中至少有一個在區間內.

由的定義知，結論成立

解法二：首先用數學歸納法證明

對于任意正整數n，若實數滿足，

則存在的一個排列，

使得.

證明如下：（1）當n=1時，結論顯然成立

（2）假設當n=k時，結論成立，

則當n=k+1時，由歸納假設知，存在的一個排列，

使得.

記，，

則.從而當時：

；

當時：

.

即當n=k+1時，結論也成立.

由（1）（2）知，對于任意正整數n，結論都成立.

回到本題，利用上述結論容易知道存在的一個排列滿足，，

且.

又，

所以或.

因此結論成立.