【題目】如圖兩個同心球，球心均為點
，其中大球與小球的表面積之比為3:1，線段
與
是夾在兩個球體之間的內弦，其中
兩點在小球上，
兩點在大球上，兩內弦均不穿過小球內部.當四面體
的體積達到最大值時，此時異面直線
與
的夾角為
，則
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
首先判斷出正方體內切球和外接球的半徑比為
，內切球和外接球的表面積之比為
，符合題意中的小球和大球的比例.判斷當四面體
體積最大時，
的位置關系，作出異面直線
所成的角
，解直角三角形求得
.
設正方體的邊長為
，則其內切球半徑為
，外接球的半徑為
，所以內切球和外接球的表面積之比為，符合題意中的小球和大球的比例. 依題意
最長為
，
最長為小球的直徑.由于三角形的面積
，若
為定值，則
時面積取得最大值.畫出圖像如下圖所示，其中
分別是所在正方形的中心，
是正方體內切球與外接球的球心.
.由于
，故此時四面體
的體積最大.
由于
，所以四邊形
為平行四邊形，所以
，所以
是異面直線
和
所成的角.所以
由于
，設
是
的中點，則
，所以
，所以
.
故選：A
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某高校調查了200名學生每周的自習時間(單位：小時)，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是[17.5，30]，樣本數據分組為[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根據直方圖，這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數是
A. 56 B. 60 C. 120 D. 140
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系
中，已知圓
及點
，
．
（1）若直線
平行于
，與圓
相交于
，
兩點，
，求直線
的方程；
（2）在圓
上是否存在點
，使得
？若存在，求點的個數；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖在四面體
中，
是邊長為2的等邊三角形，
為直角三角形，其中
為直角頂點，
.
分別是線段
上的動點，且四邊形
為平行四邊形.
（1）求證：
平面，
平面；
（2）試探究當二面角
從0°增加到90°的過程中，線段
在平面
上的投影所掃過的平面區域的面積；
（3）設
，且
為等腰三角形，當
為何值時，多面體
的體積恰好為
？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，橢圓
：
的離心率是
，過點
的動直線
與橢圓相交于
，
兩點，當直線平行
軸時，直線被橢圓截得的線段長為4.
（1）求橢圓的方程；
（2）設
為坐標原點，是否存在常數
，使得
為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
： 
的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，直線
： 
與橢圓
有且只有一個公共點．
（Ⅰ）求橢圓
的方程及點
的坐標；
（Ⅱ）設
是坐標原點，直線
平行于
，與橢圓
交于不同的兩點
、
，且與直線
交于點
，證明：存在常數
，使得
，并求
的值．
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