Question

已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)取得極值.
(I)求的單調(diào)區(qū)間和極大值
(II)證明對(duì)任意不等式恒成立.

Answer 1

(Ⅰ)單增區(qū)間，單減區(qū)間，極大值；(Ⅱ)見解析.

試題分析：(Ⅰ)根據(jù)奇函數(shù)的定義可知，由此解得，由已知條件“當(dāng)時(shí)取得極值”可得以及，聯(lián)立方程組解得，寫出函數(shù)的解析式為，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系判斷函數(shù)在實(shí)數(shù)集R上的單調(diào)性，并由此得到函數(shù)在處取得極大值；(Ⅱ)根據(jù)函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞減的，可知函數(shù)在區(qū)間上的極大值和極小值，從而由對(duì)任意的都有不等式成立，即得結(jié)論.
試題解析：(Ⅰ)由奇函數(shù)的定義，有，
即，∴.
因此，，
由條件為的極值，必有.
故，解得.              4分
因此， ，
，
.
當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)區(qū)間上是減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù).
∴函數(shù)在處取得極大值，極大值為.            8分
(Ⅱ)由(I)知，是減函數(shù)，
且在上的最大值
在上的最小值
∴對(duì)任意恒有                12分