Question

設函數.
（1）當，時，求函數的最大值；
（2）令，其圖象上存在一點，使此處切線的斜率，求實數的取值范圍；
（3）當，時，方程有唯一實數解，求正數的值.

Answer 1

（1）函數的最大值為；（2）實數的取值范圍是；（3）.

試題分析：（1）將，代入函數的解析式，然后利用導數求出函數的最大值；（2）先確定函數的解析式，并求出函數的導數，然后利用導數的幾何意義將問題轉化為，利用恒成立的思想進行求解；（3）方法一是利用參數分離，將問題轉化為方程、有且僅有一個實根，然后構造新函數，利用導數求出函數的極值從而求出參數的值；方法二是直接構造新函數，利用導數求函數的極值，并對參數的取值進行分類討論，從而求出參數的值.
試題解析：（1）依題意，的定義域為，
當，時，，，
由 ，得，解得；
由 ，得，解得或.
，在單調遞增，在單調遞減；
所以的極大值為，此即為最大值；
（2），，則有在上有解，
∴，
，
所以當時，取得最小值，；
（3）方法1：由得，令，，
令，，∴在單調遞增，
而，∴在，，即，在，，即，
∴在單調遞減，在單調遞增，
∴極小值為，令，即時方程有唯一實數解.
方法2：因為方程有唯一實數解，所以有唯一實數解，
設，則，令，
因為，，所以（舍去），，
當時，，在上單調遞減，
當時，，在上單調遞增，
當時，取最小值.
若方程有唯一實數解，
則必有 即 
所以，因為所以              12分
設函數，因為當時，是增函數，所以至多有一解.
∵，∴方程(*)的解為，即，解得.