Question

【題目】已知f（x）=ex﹣ax2，曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=bx+1．

（1）求a，b的值；

（2）求f（x）在[0，1]上的最大值；

（3）證明：當x＞0時，ex+（1﹣e）x﹣xlnx﹣1≥0．

Answer 1

【答案】（1）a=1，b=e﹣2；（2）f（x）max=f（1）=e﹣1；（3）見解析

【解析】試題分析：

(1)由切線方程研究函數可得a=1，b=e﹣2；

(2)對函數進行二次求導，結合二階導函數的性質和導函數的性質可得最大值為；

(3)利用(2)中的結論結合題意猜想x＞0，x≠1時，f（x）的圖象恒在切線y=（e﹣2）x+1的上方，利用導函數的性質即可證得結論，注意等號成立的條件.

試題解析：

解：（1）f′（x）=ex﹣2ax，∴f′（1）=e﹣2a=b，f（1）=e﹣a=b+1，

解得：a=1，b=e﹣2；

（2）由（1）得：f（x）=ex﹣x2，f′（x）=ex﹣2x，f″（x）=ex﹣2，

∴f′（x）在（0，ln2）遞減，在（ln2，+∞）遞增，

∴f′（x）≥f′（ln2）=2﹣2ln2＞0，∴f（x）在[0，1]遞增，

∴f（x）max=f（1）=e﹣1；

（3）∵f（0）=1，由（2）得f（x）過（1，e﹣1），

且y=f（x）在x=1處的切線方程是y=（e﹣2）x+1，

故可猜測x＞0，x≠1時，f（x）的圖象恒在切線y=（e﹣2）x+1的上方，

下面證明x＞0時，f（x）≥（e﹣2）x+1，

設g（x）=f（x）﹣（e﹣2）x﹣1，x＞0，

g′（x）=ex﹣2x﹣（e﹣2），g″（x）=ex﹣2，

由（2）得：g′（x）在（0，ln2）遞減，在（ln2，+∞）遞增，

∵g′（0）=3﹣e＞0，g′（1）=0，0＜ln2＜1，

∴g′（ln2）＜0，

∴存在x0∈（0，1），使得g′（x）=0，

∴x∈（0，x0）∪（1，+∞）時，g′（x）＞0，

x∈（x0，1）時，g′（x）＜0，

故g（x）在（0，x0）遞增，在（x0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，

又g（0）=g（1）=0，∴g（x）≥0當且僅當x=1時取“=”，故≥x，x＞0，

由（2）得：ex≥x+1，故x≥ln（x+1），

∴x﹣1≥lnx，當且僅當x=1時取“=”，

∴≥x≥lnx+1，即≥lnx+1，

∴ex+（2﹣e）x﹣1≥xlnx+x，

即ex+（1﹣e）x﹣xlnx﹣1≥0成立，當且僅當x=1時“=”成立．