Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=2，∠ABC=90°，DA=DC= ．現沿對角線AC折起，使得平面DAC⊥平面ABC，此時點A，B，C，D在同一個球面上，則該球的體積是（ ）
A.
B.
C.
D.12π

Answer 1

【答案】A
【解析】解：在圖2中，取AC的中點E，連結DE，BE， ∵AD=CD，∴DE⊥AC，
∵平面ACD∩平面ABC=AC，平面ACD⊥平面ABC，
DE平面ACD，
∴DE⊥平面ABC，
∵∠ABC=90°，
∴棱錐外接球的球心O在直線DE上，
∵AD=CD= ，AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴BE=AE=CE= AC= ，DE= =2，
設OE=x，則OD=2﹣x，OB= = ，
∴2﹣x= ，解得x= ，
∴外接球的半徑r=2﹣x= ，
∴外接球的體積V= = ×（ ）3= ．
故選A．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解球內接多面體的相關知識，掌握球的內接正方體的對角線等于球直徑;長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長．