Question

選修4-4：坐標系與參數方程
以直角坐標系的原點O為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．且兩個坐標系取相等的單位長度．已知直線l經過點P（1，1），傾斜角α=

π

6

；圓的極坐標方程ρ=2cosθ+6sinθ
（1）寫出直線l的參數方程；將圓的極坐標方程化成直角坐標方程；
（2）設l與圓相交于A、B兩點，求弦AB的長．

Answer 1

分析：（I）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，把極坐標方程化為直角坐標方程，利用直線l經過點P（1，1），傾斜角α=

π

6

寫出直線的參數方程．
（II）圓的圓心為（1，3），半徑等于

10

，圓心到直線的距離 d，利用弦長公式求得AB 的值．

解答：解：（I）設直線l上任意一點Q（x，y）
∵直線l經過點P（1，1），傾斜角

π

6

．
∴直線的參數方程為：

x=1+ 3 2 t y=1+ 1 2 t

（t為參數），
方程ρ=2cosθ+6sinθ即方程ρ²=2ρcosθ+6ρsinθ，
化成直角坐標方程為：
x²+y²=2x+6y．
即（x-1）²+（y-3）²=10．
（II）圓的圓心為（1，3），半徑等于

10

，
直線的普通方程為：

3

x-3y+3-

3

=0，
圓心到直線的距離：
d=

| 3 -9+3- 3 |

3+9

=

3

，
∴AB=2

r2-d2

=2

10-3

=2

7

．

點評：本題考查了直線的參數方程、簡單曲線的極坐標方程和直線與圓的位置關系等知識點，屬于中檔題．請同學們注意解題過程中用根與系數的關系，設而不求的思想方法．