Question

【題目】2019年某地初中畢業升學體育考試規定：考生必須參加長跑、擲實心球、1分鐘跳繩三項測試，三項測試各項20分，滿分60分．某學校在初三上學期開始時，為掌握全年級學生1分鐘跳繩情況，按照男女比例利用分層抽樣抽取了100名學生進行測試，其中女生54人，得到下面的頻率分布直方圖，計分規則如表1：

表1

每分鐘跳繩個數
得分	17	18	19	20

（1）規定：學生1分鐘跳繩得分20分為優秀，在抽取的100名學生中，男生跳繩個數大于等于185個的有28人，根據已知條件完成表2，并根據這100名學生測試成績，能否有99%的把握認為學生1分鐘跳繩成績優秀與性別有關？

表2

跳繩個數			合計
男生	28
女生			54
合計			100

附：參考公式：

臨界值表：

	0.050	0.010	0.001
	3.841	6.635	10.828

（2）根據往年經驗，該校初三年級學生經過一年的訓練，正式測試時每人每分鐘跳繩個數都有明顯進步．假設今年正式測試時每人每分鐘跳繩個數比初三上學期開始時個數增加10個，全年級恰有2000名學生，所有學生的跳繩個數服從正態分布（用樣本數據的平均值和方差估計總體的期望和方差，各組數據用中點值代替）．

①估計正式測試時，1分鐘跳182個以上的人數（結果四舍五入到整數）；

②若在全年級所有學生中任意選取3人，正式測試時1分鐘跳195個以上的人數為，求的分布列及期望．

附：若隨機變量服從正態分布，則，，．．

Answer 1

【答案】（1）不能有99%的把握認為認為學生1分鐘跳繩成績優秀與性別有關；（2）①約為1683人，②見解析

【解析】

（1）根據題目所給信息，完成表2，根據表中數據計算K2的觀測值k，查表判斷即可；
（2）利用頻率分布直方圖求解平均數和標準差，推出正式測試時，μ=185+10=195，σ=13，μ-σ=182．
①，由此可推出人數．
②由正態分布模型，全年級所有學生中任取1人，每分鐘跳繩個數195以上的概率為0.5，得到ξ服從，求出ξ的分布列，然后求解期望即可．

（1）在抽取的100人中，滿分的總人數為100×(0.03+0.01+0.008)×10=48人，

男生滿分的有28人，所以女生滿分的有20人，

男生共有46人，女生54人，所以男生跳繩個數不足185個的有4628=18人，女生跳繩個數不足185的有5420=34人，

完成表2如下圖所示：

跳繩個數			合計
男生	28	18	46
女生	20	34	54
合計	48	52	100

由公式可得，因為，

所以不能有99%的把握認為認為學生1分鐘跳繩成績優秀與性別有關；

（2）①根據頻率分布直方圖可得初三上學期跳繩個數的平均數：，

而，所以正式測試時，，故服從正態分布，

且，則，

所以，故正式測試時，1分鐘跳182個以上的人數約為1683人；

②，服從，

，，，

，

則的分布列為：

	0	1	2	3

．