Question

【題目】已知橢圓的離心率為，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成的三角形的面積為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）直線與圓相切，并與橢圓交于不同的兩點和，若為坐標原點），求線段長度的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）．

【解析】

（1）橢圓的離心率和其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成的三角形的面積，得，，方程組求解，即可寫出橢圓方程．

（2）直線與圓相切得，，再聯立直線和橢圓，得到關于的一元二次方程，利用由韋達定理分別得到，，，，將表示為關于的函數，再求取值范圍．

（1）橢圓的離心率為，

，即，①

又其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成的三角形的面積為．

，即，②

，③

由①②③得，，，

橢圓方程為．

（2）直線與圓相切，

，即，

直線與橢圓交于不同的兩點和，設，，，，

聯立，得，

△，

，，

，，

，，

又因為，

把上面 代入上式，得，

，又，

，∴，

令則，，所以，

線段長度的取值范圍．