Question

【題目】某海濕地如圖所示，A、B和C、D分別是以點O為中心在東西方向和南北方向設置的四個觀測點，它們到點O的距離均為公里，實線PQST是一條觀光長廊，其中，PQ段上的任意一點到觀測點C的距離比到觀測點D的距離都多8公里，QS段上的任意一點到中心點O的距離都相等，ST段上的任意一點到觀測點A的距離比到觀測點B的距離都多8公里，以O為原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系xOy.

（1）求觀光長廊PQST所在的曲線的方程；

（2）在觀光長廊的PQ段上，需建一服務站M，使其到觀測點A的距離最近，問如何設置服務站M的位置?

Answer 1

【答案】（1）

（2）

【解析】

（1）由題意知，QS的軌跡為圓的一部分，PQ的軌跡為雙曲線的一部分，ST的軌跡為雙曲線的一部分，分別求出對應的軌跡方程即可；

（2）由題意設點M（x，y），計算|MA|2的解析式，再求|MA|的最小值與對應的x、y的值．

解：（1）①由題意知，QS段上的任意一點到中心點O的距離都相等，

QS的軌跡為圓的一部分，其中r＝4，圓心坐標為O，

即x≥0、y≥0時，圓的方程為x2+y2＝16；

②PQ段上的任意一點到觀測點C的距離比到觀測點D的距離都多8公里，

PQ的軌跡為雙曲線的一部分，且c＝4，a＝4，

即x＜0、y＞0時，雙曲線方程為1；

③ST段上的任意一點到觀測點A的距離比到觀測點B的距離都多8公里，

ST的軌跡為雙曲線的一部分，且c＝4，a＝4，

即x＞0、y＜0時，雙曲線方程為1；

綜上，x≥0、y≥0時，曲線方程為x2+y2＝16；

x＜0、y＞0時，曲線方程為1；

x＞0、y＜0時，曲線方程為1；

[注]可合并為1；

（2）由題意設點M（x，y），其中1，其中x≤0，y≥0；

則|MA|2y2x2+16＝232；

當且僅當x＝﹣2時，|MA|取得最小值為4；

此時y＝42；

∴點M（﹣2，2）．