Question

【題目】已知函數.

（1）當時，若在區間上的最小值為，求的取值范圍；

（2）若對任意， ，且恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由題意當a>0時，求導，令f′（x）=0，根據函數的單調性與導數的關系，分類討論，求得f（x）的最小值，求得a的取值范圍；
（2）設g（x）=f（x）+2x，求導，令當a=0時，，g（x）在（0，+∞）上單調遞增，當a≠0時，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，根據二次函數的性質，即可求得a的取值范圍．

試題解析：

（1）函數的定義域是.當時，

，

令，得，

所以或.

當，即時，在上單調遞增，所以在上的最小值是；

當時，在上的最小值是，不合題意；

當時，在上單調遞減， 在上的最小值是，

不合題意，

綜上：.

（2）設，即，

只要在上單調遞增即可，而，

當時，，此時在上單調遞增；

當時，只需在上恒成立，因為，只要，

則需要，對于函數，過定點，對稱軸，只需

即，綜上，.