Question

已知定義域為R的函數y＝f(x)，滿足f(2＋x)＝f(2－x)．

(1)求證：函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝2對稱；

(2)若方程f(x)＝0有三個實根，且一個根為0，求另外兩根；

(3)若f(x)又是偶函數，且x∈[0，2]時，f(x)＝2x－1，求x∈[－4，0]時的f(x)的表達式．

Answer 1

答案：
解析：

理：(1)p(x0，y0)是y＝f(x)的圖象上任一點，則y0＝f(x0) 　　點p(x0，y0)關于直線x＝2的對稱點是(4－x0，y0)． 　　f(4－x0)＝f[2＋(2－x0)]＝f[2－(2－x0)]＝f(x0)＝y0． 　　點(4－x0，y0)也在函數y＝f(x)的圖象上 　　y＝f(x)的圖象關于直線x＝2對稱． 　　(2)x＝0是方程f(x)＝0的一個根， 　　f(0)＝0． 　　又f(4)＝f(2＋2)＝f(2－2)＝f(0)＝0，x＝4是方程的一個根． 　　設x0是方程的另一個根，則f(X0)＝0 　　由f(x0)＝f[2＋(x0－2)]＝f[2－(x0－2)]＝f(4－x0) 　　4－x0＝x0　x0＝4． 　　方程的另兩個根是2，4． 　　(3)設x[－2，0]，則－x[0，2]，又x[0，2]，f(x)＝2x－1 　　f(－x)＝－2x－1，又f(x)為偶函數 　　f(x)＝f(－x)＝－2x－1． 　　又f(x＋4)＝f[2＋(2＋x)]＝f[2－(2＋x)]＝f(－x)＝f(x) 　　f(x)是以4為周期的周期函數． 　　當x[－4，－2]時，x＋4[0，2]， 　　f(x)＝f(x＋4)＝2(x＋4)－1＝2x＋7 　　f(x)＝． 　　解：(1)∵對于任意x∈R，都有f(x)－x≥0，且當x∈(0，2)時， 　　有f(x)≤．令x＝1 　　∴1≤f(1)≤． 　　即f(1)＝1．　5分 　　(2)由a－b＋c＝0及f(1)＝1． 　　有，可得b＝a＋c＝．　7分 　　又對任意x，f(x)－x≥0，即ax2－x＋c≥0． 　　∴a＞0且Δ≤0． 　　即－4ac≤0，解得ac≥．　9分 　　(3)由(2)可知a＞0，c＞0． 　　a＋c≥2≥2·＝．　10分 　　當且僅當時等號成立．此時 　　a＝c＝．　11分 　　∴f(x)＝x2＋x＋， 　　F(x)＝f(x)－mx＝[x2＋(2－4m)x＋1]．　12分 　　當x∈[－2，2]時，f(x)是單調的，所以F(x)的頂點一定在[－2，2]的外邊． 　　∴≥2．　13分 　　解得m≤－或m≥．　14分