Question

已知定義域為R的函數f(x)=

-2x+a

2x+1

是奇函數
（1）求a值；
（2）判斷并證明該函數在定義域R上的單調性；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求實數k的取值范圍；
（4）設關于x的函數F（x）=f（4^x-b）+f（-2^x+1）有零點，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據奇函數當x=0時的函數值為0，列出方程求出a的值；
（2）先判斷出單調性，再利用函數單調性的定義法進行證明，即取值-作差-變形-判斷符號-下結論；
（3）利用函數的奇偶性將不等式轉化為函數值比較大小，再由函數的單調性比較自變量的大小，列出不等式由二次函數恒成立進行求解；
（4）根據函數解析式和函數零點的定義列出方程，再利用整體思想求出b的范圍．

解答：解：（1）由題設，需f(0)=

-1+a

2

=0，∴a=1，
∴f(x)=

1-2x

1+2x

，
經驗證，f（x） 為奇函數，∴a=1．
（2）減函數
證明：任取x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，△x=x₂-x₁＞0，
f（x₂）-f（x₁）=

1-2x2

1+2x2

-

1-2x1

1+2x1

=

2(2x1-2x2)

(1+2x1)(1+2x2)

，
∵x₁＜x₂ ∴0＜2x1＜2x2；
∴2x1-2x2＜0，（1+2x1）（1+2x2）＞0
∴f（x₂）-f（x₁）＜0
∴該函數在定義域R 上是減函數．
（3）由f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0 得f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
∵f（x） 是奇函數，∴f（t²-2t）＜f（k-2t²），
由（2）知，f（x） 是減函數
∴原問題轉化為t²-2t＞k-2t²，即3t²-2t-k＞0 對任意t∈R 恒成立，
∴△=4+12k＜0，得k＜-

1

3

即為所求．
（4）原函數零點的問題等價于方程f（4^x-b）+f（-2^x+1）=0
由（3）知，4^x-b=2^x+1，即方程b=4^x-2^x+1 有解
∴4^x-2^x+1=（2^x）²-2×2^x=（2^x-1）²-1≥-1，∴當b∈[-1，+∞） 時函數存在零點．

點評：本題考查了函數的奇偶性、單調性的應用，利用奇函數的定義域內有0時有f（0）=0進行求值，函數單調性的證明必須按照定義法進行證明，即取值-作差-變形-判斷符號-下結論，利用二次函數的性質，以及整體思想求出恒成立問題．