Question

如圖所示的長方體中，底面是邊長為的正方形，為與的交點，，是線段的中點．
（1）求證：平面；
（2）求三棱錐的體積．

Answer 1

（1）證明過程詳見試題解析；（2）三棱錐的體積為．

解析試題分析：（1）連接，要證平面，需證∥，而∥易證；
（2）用割補法，用長方體的體積減去四個三棱錐的體積即可，求得結果為.
試題解析：（1） 連結，如圖，
∵、分別是、的中點，是矩形，
∴四邊形是平行四邊形，
∴．               2分
∵平面，平面，
∴平面．         6分
（2） 解法1 連結，∵正方形的邊長為2，
，∴，，，則，
∴．                                       8分
又∵在長方體中，，，且，
∴平面，又平面，
∴，又，              
∴平面，即為三棱錐的高．      10分
∵，
∴．                 12分
解法2： 三棱錐是長方體割去三棱錐、三棱錐、三棱錐、三棱錐后所得，而三棱錐、、、是等底等高，故其體積相等．
．
考點：線面平行的判定定理、空間幾何體的表面積和體積.