Question

如圖所示,直三棱柱ABCA₁B₁C₁中,D,E分別是AB,BB₁的中點.

(1)證明:BC₁∥平面A₁CD;
(2)設AA₁=AC=CB=2,AB=2,求三棱錐CA₁DE的體積.

Answer 1

(1)見解析   (2)1

解析(1)證明:連接AC₁交A₁C于點F,

則F為AC₁中點.
又D是AB中點,連接DF,
則BC₁∥DF.
因為DF?平面A₁CD,BC₁?平面A₁CD,
所以BC₁∥平面A₁CD.
(2)解:因為ABCA₁B₁C₁是直三棱柱,
所以AA₁⊥CD.
由已知AC=CB,D為AB的中點,
所以CD⊥AB.
又AA₁∩AB=A,
于是CD⊥平面ABB₁A₁.
由AA₁=AC=CB=2,AB=2
得∠ACB=90°,CD=,A₁D=,DE=,A₁E=3,
故A₁D²+DE²=A₁E²,
即DE⊥A₁D.
所以=××××="1."