Question

【題目】已知數列的前項和為，且.其中為常數.

（1）求的值及數列的通項公式；

（2）記，數列的前項和為，若不等式對任意恒成立 ，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）由題意知中，令，求得，即，所以兩式相減整理得，利用等比數列的通項公式，即可求解．

（2）由（1）可得，利用“裂項”法求得，根據題設化簡得對任意恒成立，記，分為奇數和為偶數討論，求得的最大值，即可求解．

（1）由題意知中，令，得，又，解得，

即，所以，

兩式相減得，整理得，

數列是以，公比為2的等比數列，所以．

（2）由（1）可得，

所以，

由對任意恒成立，

得對任意恒成立，

記，，

（1）當為偶數時，，

若，則，又，所以.

（2）當為奇數時，，則，

若，為奇數，則，即，

若，為奇數，則，即，所以，

綜合（1）（2）知，

所以實數的取值范圍是.