Question

【題目】已知函數（是自然對數的底數）與的圖象上存在關于軸對稱的點，則實數的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】根據題意，若函數f（x）=﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然對數的底）與g（x）=3lnx的圖象上存在關于x軸對稱的點，

則方程﹣x3+1+a=﹣3lnx在區間[，e]上有解，

﹣x3+1+a=﹣3lnxa+1=x3﹣31nx，即方程a+1=x3﹣31nx在區間[，e]上有解，

設函數g（x）=x3﹣31nx，其導數g′（x）=3x2﹣ = ，

又由x∈[，e]，g′（x）=0在x=1有唯一的極值點，

分析可得：當≤x≤1時，g′（x）＜0，g（x）為減函數，

當1≤x≤e時，g′（x）＞0，g（x）為增函數，

故函數g（x）=x3﹣31nx有最小值g（1）=1，

又由g（）= +3，g（e）=e3﹣3；比較可得：g（）＜g（e），

故函數g（x）=x3﹣31nx有最大值g（e）=e3﹣3，

故函數g（x）=x3﹣31nx在區間[，e]上的值域為[1，e3﹣3]；

若方程a+1=x3﹣31nx在區間[，e]上有解，

必有1≤a+1≤e3﹣3，則有0≤a≤e3﹣4，

即a的取值范圍是[0，e3﹣4]；