Question

【題目】在四棱錐中，，底面，，直線與底面所成的角為，分別是的中點．

（1）求證：直線平面；

（2）若，求證：直線平面；

（3）若，求棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

（1）由M、N是PA、PB中點，結合三角形中位線定理得MN∥AB，從而MN∥CD，由線面平行的判定定理證得MN∥平面PDC；（2）由DN⊥PB，，利用線面垂直判定定理得直線DN⊥平面PBC；（3）用等體積法，求VP﹣ABC相應的高PD和底面積，再用體積公式即可．

（1）證明：連接 ，∵是中點，∴，從而．

∵在平面外，在平面內，∴直線平面；

（2）證明：∵，∴．

∵底面，直線與底面成角，

∴．∴．

∵是的中點，∴．

∵， ∴．

∵相交于一點，∴直線平面；

（3）．