Question

已知數列{xn}滿足：x1=1且xn+1=

xn+4

xn+1

，n∈N*．
（1）計算x₂，x₃，x₄的值；
（2）試比較x_n與2的大小關系；
（3）設a_n=|x_n-2|，S_n為數列{a_n}前n項和，求證：當n≥2時，Sn≤2-

2

2n

．

Answer 1

分析：（1）利用已知的遞推式，n分別取2，3，4，代入計算即可得到x₂，x₃，x₄的值；
（2）根據條件可得x_n+1-2與x_n-2相反，而x₁=1＜2，則x₂＞2，依此類推有：x_2n-1＜2，x_2n＞2；
（3）根據遞推式，當n≥2時，xn+1=

xn+4

xn+1

=1+

3

xn+1

，則x_n＞1，所以我們有|xn+1-2|=|

xn+4

xn+1

-2|=

|xn-2|

xn+1

＜

1

2

|xn-2|，從而可得an＜

1

2

an-1＜…＜(

1

2

)n-1a1=(

1

2

)n-1(n≥2)，再求和，即可得到所要證明的結論．

解答：（1）解：∵x₁=1，xn+1=

xn+4

xn+1

，n∈N*
∴x2=

1+4

1+1

=

5

2

；x3=

5 2 +4

5 2 +1

=

13

7

；x4=

13 7 +4

13 7 +1

=

41

20

．…（3分）
（2）解：∵當n≥2時，xn+1-2=

xn+4

xn+1

-2=

-xn+2

xn+1

=-

xn-2

xn+1

又xn+1=

xn+4

xn+1

=1+

3

xn+1

，x1=1，則xn＞0
∴x_n+1-2與x_n-2相反，而x₁=1＜2，則x₂＞2
依此類推有：x_2n-1＜2，x_2n＞2…（8分）
（3）證明：∵當n≥2時，xn+1=

xn+4

xn+1

=1+

3

xn+1

，x1=1，
∴x_n＞1，
∴|xn+1-2|=|

xn+4

xn+1

-2|=

|xn-2|

xn+1

＜

1

2

|xn-2|
∴an＜

1

2

an-1＜…＜(

1

2

)n-1a1=(

1

2

)n-1(n≥2)
∴

n

i=1

an＜1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-21-n
∴當n≥2時，Sn≤2-

2

2n

．…（14分）

點評：本題以數列遞推式為載體，考查數列的項及項的性質，考查放縮法證明不等式，同時考查等比數列的求和，解題的關鍵是正確運用好遞推式．