Question

已知數列{x_n}滿足x₂=

1

2

x₁，x_n=

1

2

（x_n-1+x_n-2）（n=3，4，5，…），若

lim

n→∞

xn=2，則x₁=

 

．

Answer 1

分析：要求極限，先求通項，而條件只是一個遞推關系且復雜，故宜采用歸納法猜測通項．并注意無窮遞縮等比數列的極限

解答：解：∵x2=

1

2

x1，且xn=

1

2

(xn-1+xn-2)令n=3，
得 x3=

1

2

(x2+x1)=

3

4

x1，令n=4，
得 x4=

1

2

(x2+x3)  =

5

8

x1，
∴x2-x1=-

1

2

x1，x3-x2=

1

4

x1，x4-x3=-

1

8

x1，…，xn- xn-1 =(-

1

2

)n-1，
于是x_n=x₁+（x₂-x₁）+…+（x_n-x_n-1）=x1+

- 1 2 x1[1-(- 1 2 )n-2]

1+ 1 2

∴

lim

n→∞

xn=x1-

1

3

x1=2，x₁=3．
故答案為3．

點評：求出前幾項后，觀察數列的特征，一般是看差和商，采用疊加或累乘法．考查計算能力．